Q.172「lim(1+i/n)^n」

Q.172 ☆5 [2018 早稲田(教育)]

$\left(1+ \dfrac{i}{n}\right)^{n}$の実部を$a_{n}$, 虚部を$b_{n}$とする。

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}$ と $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}$ を求めよ。

解答

$a_{n}+b_{n}i$ の絶対値と偏角の極限を見る。

$|1+ \dfrac{i}{n}|^{n}=\left( 1+\dfrac{1}{n^{2}} \right)^{n}$ の極限を求める。

対数を取り, $\dfrac{n^{2}\log{(1+\dfrac{1}{n^{2}})}}{n}\rightarrow 0 $ $ (=\dfrac{1}{\infty})$

よって $ |1+ \dfrac{i}{n}|^{n}\rightarrow 1$

$1+\dfrac{i}{n}$の偏角 を$\theta_{n} $ ($0<\theta_{n}<\dfrac{\pi}{2}$)とすると, $\left( 1+\dfrac{i}{n}\right)^{n}$の偏角は $n\theta_{n}$である。明らかに $\theta_{n}\rightarrow 0$ である。

$\tan{\theta_{n}}=\dfrac{1}{n}$ より

$n\theta_{n}=\dfrac{\theta_{n}}{\tan{\theta_{n}}}\to 1$ (∵ $\theta_{n}\to 0$)

よって, $a_{n}+b_{n}i=|1+\dfrac{i}{n}|^{n}\left(\cos{\theta_{n}} +i\sin{\theta_{n}}\right)$ は絶対値1, 偏角1の複素数に限りなく近づくから

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=\cos{1}$ , $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}=\sin{1}$