Q.172 ☆5 [2018 早稲田(教育)] $\left(1+ \dfrac{i}{n}\right)^{n}$の実部を$a_{n}$, 虚部を$b_{n}$とする。 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}$ と $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}$ を求めよ。 解答 $a_{n}+b_{n}i$ の絶対値と偏角の極限を見る…

Q.89 ☆8 [1991JMO予選改題] 自然数に対して定義される関数$f$は, $f(1)=1$ $f(2n)=f(n)$ $f(2n+1)=f(n)+1$ を満たしている。 $1\le k\le 114514$における$f(k)$の最大値, 及びその時の$k$の値を全て求めよ。 解答 $f(n)$は $ n $を2進表示したときの$1$の桁…

Q.227 ☆8 5月頃に大数に投下した自作問題で9月学コンの3番に掲載させていただいたものです。 解答(pdf) : https://drive.google.com/file/d/1X4TlCPrDrsUAu_po4RhN3GBfIjbjvnen/view?usp=drivesdk

$\displaystyle\lim_{x\to\pi}\left( \dfrac{2}{1+\cos{\left( x^{\sin{x}}-1 \right)} }\right)^{\frac{1}{\left(x-\pi \right)^{2}}}$ を求めよ。

$p,q,r$は素数, $p\le q\le r$, $n\in\mathbb{N}$ $p^{n}+r^{n+1}=q^{n+2}$ （解答） 偶奇性より$p,q,r$の中に2がある。よって $p=2$ $2q^{n+1}\le q^{n+2} = 2^{n}+r^{n+1} < 2\times r^{n+1}$ より$q

$t=\dfrac{3}{4}$ の場合だけ漸化式の解き方が違うので注意です。

Q.165 ☆7◎ [東京大] xy平面上の各格子点 ($x,y$ 座標がともに整数の点) を中心として半径$r$の円がえがかれており,傾き$\dfrac{2}{5}$の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点を持つという。このような性質をもつ実数 $r$ の最小値を求めよ。 解答 傾き$\d…

Q.115 (2)はオリジナルです（多少高校範囲を逸脱しているかな） 後半部分について 集合A={x ∈ℝ| f(x)=0}で, Aが1つ元（実数）を含めばその元より小さい実数はすべて含むと言えます。また、f(x)>0 (x>-1) よりAは上に有界なのて 最小上界supA=cが存在します。x<cならx∈A⇔f(x)=0, そしてfが微分可能⇒連続のため, lim[x→c]=0=f(c)となり c∈Aが言え、c=maxAとなり最大のmが取れるということです これによりf(x)></cならx∈a⇔f(x)=0,>…

ツイート参照 $m=3$ の場合についてはまだ分かっていません。

参照（ツイッターに飛びます）https://twitter.com/Lim_Rim_/status/986611188229292033?s=19 コメント ネタ問に見えますが、(3)は中々難しいです。 偶然にも33,4という数値はかなり良い設定になっています。

Q.100 ☆7 [suiso_728660様] 100人の田中が同じスタート地から体育館を永遠に周回する。田中$n$ $(1\le n\le 100, n\in\mathbb{N})$ が体育館を1周するのにかかる時間は $n$ とする。このとき,どの田中に,自分から半周離れた場所に他の99人の田中が位置するよ…

Q.160 ☆7 [2014 京大] $xy$平面の第一象限において,原点$O$を中心とする円$C_1$と $C_2$:$y=\dfrac{1}{x}$ ($0