どちゃ楽 Q.150 「logと三角関数の連立方程式」

Q.150 ☆3 [芝浦工大]

$0<x<1,0<y<1$ なる実数$x,y$において,次の連立方程式を解け。 ${}$ $$ \left\{ \begin{array}{} \log_{x}{y}+\log_y{x}=2 \\ 2\log_x{\sin{(x+y)}}=\log_x{(\sin{y})}+\log_y{\cos{x}} \end{array} \right. $$

この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/944959330306080768

解答

以下の記述で,$\log$ の底の数字が記されていないときは ネイピア数$e$を底にしているものとする。

$\log_{x}{y}\log_{y}{x}=\log_{x}{x}=1$に注意すると,

$\log_{x}{y}+\log_y{x}=2$

$\Leftrightarrow (\log_{x}{y}-\log_{y}{x})^{2}=0$

であるから,$\log_{x}{y}-\log_{y}{x}=\dfrac{\log{y}}{\log{x}}-\dfrac{\log{x}}{\log{y}}=0$

より,整理すれば $(\log{x})^{2}=(\log{y})^{2}$ となり,両辺の平方根を取ると,$x,y$の範囲から $\log{x}, \log{y}<0$ に注意して

$-\log{x}=-\log{y}$ となるので $x=y$ が言える。

これを連立方程式の下式に代入し

$2\log_x{\sin{2x}}=\log_x{(\sin{x})}+\log_x{\cos{x}}$

$\Leftrightarrow \log_x{(\sin{2x})^{2}}=\log_{x}{\sin{x}\cos{x}}= \log_{x}{\dfrac{\sin{2x}}{2}}$

となるから,真数を比較し $(\sin{2x})^{2}=\dfrac{\sin{2x}}{2}$

$0<x<1$ において $\sin{2x}>0$ だから

$\sin{2x}=\dfrac{1}{2}$

$0<2x<2<\dfrac{5\pi}{6}$ より $2x=\dfrac{\pi}{6}$ だから

$x=y=\dfrac{\pi}{12}$

コメント

対数と三角関数の融合で一見手ごわそうに見えますが,上式から紐解くことができます。上式を相加相乗平均不等式の等号成立の場合と見ても良いでしょう。