(2/22追記) このページは次のNotionというアプリに移行・整理いたします。 www.notion.so 最近院試を解き始めています. こういう受験問題が好きなタイプなのか, かつての情熱を思い起こすように楽しく解いてます. あと6ヶ月くらいの間, いろんな問題に挑戦し…
たまたま『数論の精選』って本を眺めてて感慨にふけってたところで適当に1問やってみようかなと思って解いてみました。良い問題だったので書いてみる。 問題4. (2004 APMO) すべての自然数$n$に対して$\left\lfloor \frac{(n-1)!}{n(n+1)} \right\rfloor$は…
今回はIMO shortlist(IMOの候補問題)の整数問題からです。すごく面白い問題だったので書こうと思いました。 問題3. 正の整数 $ n $であって, $ n^4+n^2+1 $ の最大の素因数と, $ (n+1)^4 + (n+1)^2 + 1$ の最大の素因数が等しいようなものが無限に存在するこ…
解いてみた No.2 は先日あったというIMOのProblem 4.からです。(選手のみなさんお疲れ様でした) 本当はテストが間近にあるのでこんなの解いてる暇は無いんですけどね・・・つい気になってしまった。 問題.2 以下をみたす正の整数の組$ (k,n) $をすべて求めよ…
ツイッターで見かけた次の問題を解いてみました。出典は駿台全国模試とのこと。 問. 以下で $x$ の整式 $f(x)$, $g(x)$, $f_{m}(x)$ ($ m=1,2,\cdots ,n $)はすべて整数係数で, 最高次の係数が$ 1 $であるとする。 (1) $ f(\sqrt{2} ) = 0$, $g(\sqrt{2} + \…
6/8(土)は作問サークルの活動日でしたので, 駿台全国模試理系数学をみんなであつまって解いてみて, 景品(お菓子など)を争奪する「闇のゲーム」をやってました。今回で第2回です。第1回は2019センターでした。 今回集まったのは7人。そもそもこのサークルのメ…
なんかTwitterで超難問模試とかいうのが流れてきたので少し解いてみました 超難問模試問1〜問3 pic.twitter.com/piHj45x3nT — エボルト (@arboClovE) May 29, 2019 これ。整数たくさんあるな～～～ってなったので見てみた。1,3,5番はいけそうだったんで解い…
今回はガロア祭とかいうやつで大賞取ったワ～って自慢がしたいんですけれども, その前にこのブログでかくのが久しぶりだからなんか無沙汰をわびるごとく振り返りでも書こうと思います。 1回生のうちに手をつけた数学と言えば, 1回生の微積線型, 位相空間論, …
Q.172 ☆5 [2018 早稲田(教育)] $\left(1+ \dfrac{i}{n}\right)^{n}$の実部を$a_{n}$, 虚部を$b_{n}$とする。 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}$ と $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}$ を求めよ。 解答 $a_{n}+b_{n}i$ の絶対値と偏角の極限を見る…
Q.89 ☆8 [1991JMO予選改題] 自然数に対して定義される関数$f$は, $f(1)=1$ $f(2n)=f(n)$ $f(2n+1)=f(n)+1$ を満たしている。 $1\le k\le 114514$における$f(k)$の最大値, 及びその時の$k$の値を全て求めよ。 解答 $f(n)$は $ n $を2進表示したときの$1$の桁…
Q.227 ☆8 5月頃に大数に投下した自作問題で9月学コンの3番に掲載させていただいたものです。 解答(pdf) : https://drive.google.com/file/d/1X4TlCPrDrsUAu_po4RhN3GBfIjbjvnen/view?usp=drivesdk
$\displaystyle\lim_{x\to\pi}\left( \dfrac{2}{1+\cos{\left( x^{\sin{x}}-1 \right)} }\right)^{\frac{1}{\left(x-\pi \right)^{2}}}$ を求めよ。
$p,q,r$は素数, $p\le q\le r$, $n\in\mathbb{N}$ $p^{n}+r^{n+1}=q^{n+2}$ （解答） 偶奇性より$p,q,r$の中に2がある。よって $p=2$ $2q^{n+1}\le q^{n+2} = 2^{n}+r^{n+1} < 2\times r^{n+1}$ より$q
$t=\dfrac{3}{4}$ の場合だけ漸化式の解き方が違うので注意です。
Q.165 ☆7◎ [東京大] xy平面上の各格子点 ($x,y$ 座標がともに整数の点) を中心として半径$r$の円がえがかれており,傾き$\dfrac{2}{5}$の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点を持つという。このような性質をもつ実数 $r$ の最小値を求めよ。 解答 傾き$\d…
Q.115 (2)はオリジナルです（多少高校範囲を逸脱しているかな） 後半部分について 集合A={x ∈ℝ| f(x)=0}で, Aが1つ元（実数）を含めばその元より小さい実数はすべて含むと言えます。また、f(x)>0 (x>-1) よりAは上に有界なのて 最小上界supA=cが存在します。x<cならx∈A⇔f(x)=0, そしてfが微分可能⇒連続のため, lim[x→c]=0=f(c)となり c∈Aが言え、c=maxAとなり最大のmが取れるということです これによりf(x)></cならx∈a⇔f(x)=0,>…
ツイート参照 $m=3$ の場合についてはまだ分かっていません。
参照（ツイッターに飛びます）https://twitter.com/Lim_Rim_/status/986611188229292033?s=19 コメント ネタ問に見えますが、(3)は中々難しいです。 偶然にも33,4という数値はかなり良い設定になっています。
Q.100 ☆7 [suiso_728660様] 100人の田中が同じスタート地から体育館を永遠に周回する。田中$n$ $(1\le n\le 100, n\in\mathbb{N})$ が体育館を1周するのにかかる時間は $n$ とする。このとき,どの田中に,自分から半周離れた場所に他の99人の田中が位置するよ…
Q.160 ☆7 [2014 京大] $xy$平面の第一象限において,原点$O$を中心とする円$C_1$と $C_2$:$y=\dfrac{1}{x}$ ($0
Q.149 ☆4 [2016京大オープン] $p$ は正の定数とする。$xy$平面上の2曲線 $\mbox{C}_1$: $|y|=\tan{x}$ ($0\le x <\dfrac{\pi}{2}$) $\mbox{C}_2$: $x=\dfrac{y^{2}}{4} + p$ が 2点で接しているとする。$\mbox{C}_1$と$\mbox{C}_2$ で囲まれた部分の面積を求…
Q.150 ☆3 [芝浦工大] $0
Q.184 (1) 方程式 $x^{3}+3x^{2}-(k-7)x+k-11=0$ はちょうど2つの実数解を持つ。実数 $k$ の値を求めよ。 ☆2 [2017東京電機大] (2) 点$(a,-9)$を通る曲線 $y=x^{4}-6x^{2}$ の接線が2本あるとき,$a$ の値を求めよ。 ☆7 [学コン 2017-5-4 (1)] この問題のツイ…
Q.53 ☆5 [DMO4th 文3] 正の整数$n$,素数$p$の組であって $\dfrac{1+2+3+\cdots +2n}{2+4+6+\cdots 2p} =p$ を満たすようなものをすべて求めよ。 解答 $1+2+3+\cdots +2n=\dfrac{2n(2n+1)}{2}=n(2n+1)$ $2+4+6+\cdots +2p=2(1+2+3+\cdots +p)=2\cdot\dfrac{p(…
こんにちは。リムリムです。 私事なのですが 京大理学部特色入試に合格しました。 (追記: 最終合格いたしました！)ツイッターというもので合格報告ツイートを流したわけですが、リプ、RT、いいねが尋常じゃないほど来ました。フォロワーが100人増えました。…
Q.142 (1) 19で割って14余る平方数は存在するか？☆4 (2)\dfrac{2a^{2}-1}{b^{2}+2} が整数になる整数の組$(a,b)$は存在するか？☆9 ポイント 平方剰余の応用問題として出題しています。 必要ならばルジャンドル記号を駆使して考えましょう。 ルジャンドル記号…
Q.62 ☆7 [2014 AIME I] 次の三次方程式を解け。 $(\sqrt{2014})x^{3} − 4029x^{2}+ 2 = 0$ 解答 $x=0$は解でないので,$x\neq 0$ とする。 $y=\sqrt{2014}$ とすると,与えられた方程式は $yx^{3} − (2y^{2}+1)x^{2}+ 2 = 0$ $\Leftrightarrow 2x^{2}y^{2}-x^{…
以下のツイートとリプ欄にまとめました。 https://twitter.com/Lim_Rim_/status/914519290996449280
Q.41 ☆6 [東工大] 実数$x,y$が$x^{2}+y^{2}\le 1$を満たす。$m $を負でない実数とするとき,$m(x+y)+xy$の最小値,最大値を求めよ。 この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/937469982266363905 ポイント $x+y=s$, $xy=t$ と置き換えま…
