Twitterで見た超難問模試ってやつ

 なんかTwitterで超難問模試とかいうのが流れてきたので少し解いてみました

 

これ。整数たくさんあるな～～～ってなったので見てみた。1,3,5番はいけそうだったんで解いてみた。(6番もやったけどツイート主にまちがっとるって言われた) 

 

ツイート主さんに送ってみた解答pdfです。

drive.google.com

 

1番

まあ要は整数になるときが素数なんでしょってことなんであの分数式が整数になればよくって。$\dfrac{2y^x}{x^y-y^x}$が自然数になるって考えればいつもの (分母)$\geq$ (分子)の必要条件があるわけでして。そこからまあ頑張れば評価はできるよな～って感じで方針的にはそこまで迷いませんでした, 計算はあれですが

 

3番

こういうのは得意。まずは$\geq 2$ではどうせ解はないだろうと予想。解がなくなるためには何が$a=1$と異なる状況を生み出すか, といえば$\mathrm{mod} 9$ですよね。そんでなんやかんやして, $6m+5$が指数に乗りましたから, 位数的な観点で剰余の振る舞いが少なくなるように$6k+1$型の(なるべく小さい)素数を$\mathrm{mod}$に取るといいだろうってのがあります。経験的に身についたテクニックです。すると自然に$\mathrm{mod} 13$の手が出て, $7^{6m}$ の$13$で割った余りというのは確かにたったの2通りしか異なる剰余を見せないんです。そうしてどっちの場合でも, なるべき剰余を回避してしまい, 不適であることが導かれる。いつも通りですよね。読者は$5^{a}+12^{b}=13^{c}$とかも挑戦されたい。($c=1$の場合がくせ者です。)

 

5番

むずい。はじめはマスターデーモンみたく$ n $の最小素因数でも取るか? と思ったがうまくいかず。逆に分子から素因数$ p $を取ってみて, なんか位数とか見ていけば$ n $の構成する素因数が制限を受けるという。$2^{n-1}=(2^{k})^{2^s}=K^{2^s}$って見るのがポイントだったんだなあ、おもしろい　なんか不定方程式botに有名問題として乗ってたけど有名なんだなあ

 

 

高校数学(?)はついよくやってしまう　最近問題作ってないからおもろいの作りたいなあ