ポイント

$x+y=s$, $xy=t$ と置き換えましょう。

解答

$x+y=s$, $xy=t$ としたとき,$x^{2}+y^{2}=s^{2}-2t \le 1$

解と係数の関係より,$x,y$は二次方程式 $z^{2}-sz+t=0$ の実数解になっているから,この判別式の値は非負である。よって $s^{2}-4t\ge 0$

よって $\dfrac{s^{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\le t\le \dfrac{s^{2}}{4}$ となるから,$\dfrac{s^{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{s^{2}}{4}\Leftrightarrow -\sqrt{2}\le s\le \sqrt{2}$ であることが必要条件。また,$s$をその範囲内で固定したとき, $\dfrac{s^{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\le t\le \dfrac{s^{2}}{4}$ が$t$の動く範囲となる。

そのとき,$\dfrac{s^{2}}{2}+ms-\dfrac{1}{2}\le ms+t\le \dfrac{s^{2}}{4}+ms$ となる。

求める最大値は $-\sqrt{2}\le s\le \sqrt{2}$ における$f(s)=\dfrac{s^{2}}{4}+ms$ の最大値である。

$m\ge 0$であるから,$0\le s\le\sqrt{2}$ のとき $f(s)\ge f(-s)$ である。よって $0\le s\le\sqrt{2}$ の場合のみを考えればよく,

$f'(s)=\dfrac{s}{2}+m $ は $0\le s\le\sqrt{2}$ において非負(かつ正の値を取る) ため,$f(s)$は増加し $f(s)\le f(\sqrt{2})=\dfrac{1}{2}+m\sqrt{2}$

したがって求める最大値は $\dfrac{1}{2}+m\sqrt{2}$

求める最小値は $-\sqrt{2}\le s\le \sqrt{2}$ における$g(s)=\dfrac{s^{2}}{2}+ms-\dfrac{1}{2}$ の最小値である。

( i ) $\sqrt{2}\le m $ のとき……

$g'(s)=s+m $ であるから,$g'(s)=s+m\ge -\sqrt{2}+m \le 0$ より $g(s)$ は増加するので

$g(s)\ge g(-\sqrt{2})= \dfrac{1}{2}-m\sqrt{2}$

が最小値となる。

( ii ) $0\le m<\sqrt{2}$ のとき……

$g'(-m)=-m+m=0$ より $-\sqrt{2}\le s\le -m $ において $g(s)$ は減少,$-m\le s\le \sqrt{2}$ において $g(s)$ は増加するので

$g(-m)=-\dfrac{1+m^{2}}{2}$ が極小値でかつ最小値となる。

以上より, $m(x+y)+xy$ の最大値は $\dfrac{1}{2}+m\sqrt{2}$

最小値は $\sqrt{2}\le m $ のとき $\dfrac{1}{2}-m\sqrt{2}$,

$0\le m<\sqrt{2}$ のとき $-\dfrac{1+m^{2}}{2}$ である。

関数や条件の形が対称式ですから対称式で攻めればよいというわけでした。ある実数$s,t$に対して $x+y=s, xy=t$ なる実数$x,y$が存在するための条件は $s^{2}-4t\ge 0$ です。なお,$s,t$の存在範囲を求めてからは線形計画法でも解けます。最小値は2つの場合分けが必要でしたが,最小値は$m $に対して連続的に変化すると思われますから,場合分けの境界である$m=\sqrt{2}$をどちらの場合にも代入し,値が一致することを確かめておくと自信が持てます。

Rim[N→∞]cos(2πen!/3)

数学。

どちゃ楽 Q.41 「m(x+y)+xy」

ポイント

解答

コメント