どちゃ楽
Q.100 ☆7 [suiso_728660様] 100人の田中が同じスタート地から体育館を永遠に周回する。田中$n$ $(1\le n\le 100, n\in\mathbb{N})$ が体育館を1周するのにかかる時間は $n$ とする。このとき,どの田中に,自分から半周離れた場所に他の99人の田中が位置するよ…
Q.160 ☆7 [2014 京大] $xy$平面の第一象限において,原点$O$を中心とする円$C_1$と $C_2$:$y=\dfrac{1}{x}$ ($0
Q.149 ☆4 [2016京大オープン] $p$ は正の定数とする。$xy$平面上の2曲線 $\mbox{C}_1$: $|y|=\tan{x}$ ($0\le x <\dfrac{\pi}{2}$) $\mbox{C}_2$: $x=\dfrac{y^{2}}{4} + p$ が 2点で接しているとする。$\mbox{C}_1$と$\mbox{C}_2$ で囲まれた部分の面積を求…
Q.150 ☆3 [芝浦工大] $0
Q.184 (1) 方程式 $x^{3}+3x^{2}-(k-7)x+k-11=0$ はちょうど2つの実数解を持つ。実数 $k$ の値を求めよ。 ☆2 [2017東京電機大] (2) 点$(a,-9)$を通る曲線 $y=x^{4}-6x^{2}$ の接線が2本あるとき,$a$ の値を求めよ。 ☆7 [学コン 2017-5-4 (1)] この問題のツイ…
Q.142 (1) 19で割って14余る平方数は存在するか？☆4 (2)\dfrac{2a^{2}-1}{b^{2}+2} が整数になる整数の組$(a,b)$は存在するか？☆9 ポイント 平方剰余の応用問題として出題しています。 必要ならばルジャンドル記号を駆使して考えましょう。 ルジャンドル記号…
Q.62 ☆7 [2014 AIME I] 次の三次方程式を解け。 $(\sqrt{2014})x^{3} − 4029x^{2}+ 2 = 0$ 解答 $x=0$は解でないので,$x\neq 0$ とする。 $y=\sqrt{2014}$ とすると,与えられた方程式は $yx^{3} − (2y^{2}+1)x^{2}+ 2 = 0$ $\Leftrightarrow 2x^{2}y^{2}-x^{…
以下のツイートとリプ欄にまとめました。 https://twitter.com/Lim_Rim_/status/914519290996449280
Q.41 ☆6 [東工大] 実数$x,y$が$x^{2}+y^{2}\le 1$を満たす。$m $を負でない実数とするとき,$m(x+y)+xy$の最小値,最大値を求めよ。 この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/937469982266363905 ポイント $x+y=s$, $xy=t$ と置き換えま…
Q.142 (3) ☆9 $\dfrac{3^{n}-1}{2^{n}-1}$ が整数になる$n\in\mathbb{N}$ を全て求めよ。 この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/936367712397271040 解答 $n\ge 2$ とする。このとき,$2^{n}-1$ は1より大きい奇数であって,奇素因数…
Q.207 ☆7 [自作] 4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗を47で割った余りを求めよ。 この問題の…
Q.125 ☆10 [BotBot07080546 様] 10進法で末尾が0でない正の整数 $n$ の末尾を首位へと移し,新しい整数 $f(n)$ を作る。たとえば,$f(334)=433, f(893)=389$ である。$f(5^{p})=2^{q}$ を満たす3以上の整数の組 $(p,q)$ を求めよ。 この問題のツイート: https:…
Q.121 ☆6 [学コン] 3つの素数$p,q,r$があり, $pq-1,qr-1$は平方数で, $rp-1$は素数の6乗である。$p,q,r$を求めよ。 この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/936163980589932544 解答 $s$ を $rp-1=s6$ なる素数とする。 $p,r$の少なく…
Q.82 ☆12 [2015春合宿] 関数$f$は集合$S=\{1,2,3,\cdot n\}$の部分集合に対して定義され, $1$以上$2^{n}$以下の整数値を取る。このような$f$であって,以下の3つの条件を満たすような$f$はいくつ存在するか。ただし$\varnothing$は空集合を表す。 ( i ) 任意…
Q.97 ☆? [1977 ドイツTST] $4444^{4444}$ の各桁の数の和を$A$, $A$の各桁の数の和を$B$とする。$B$の各桁の数の和を求めよ。 ※各桁の和は10進法においてのものとする。 この問題はツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/935854355139280896 ポ…
Q.2 正の整数$n$の正の約数の総積を$P(n)$とする。 (1) $P(n)=24^{240}$となるような$n$は1つだけある。$n$を求めよ。[JMO予選 2012] ☆3 (2) 実は,$m\neq n$ ならば $P(m) \neq P(n)$ である。このことを示せ。[自作] ☆8 この問題のツイート: https://twitte…
Q.178 ☆6 [京大オープン] 初項1, 公差24の等差数列を$\{a_{n}\}$とする。数列$\{\sqrt{a_{n}}\}$の項には$5$以上の素数がすべて現れることを示せ。 この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/934699280786264067 ポイント 数列${a_{n}}$…
Q.7 ☆4 [東工大 2017] 次の条件( ⅰ ), ( ⅱ )をともに満たす正の整数$N$をすべて求めよ。 ( ⅰ )$N$の正の約数は12個 ( ⅱ )$N$の正の約数を小さい順から並べたとき,7番目の数は12 この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/93502386470624…
Q.195 ☆4◎ (自作問題)$n$を2以上の整数とする。$n+1$進法で$n$桁の数 $1000\cdots 0000$ は, $n$進法で何桁か。この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/934857768594321408 解答 ($n=2$ で実験すると2桁, $n=3$では3桁であることから,…
