解答

2つの曲線はともに$x$軸で対称であるため,囲まれた部分のうち $y\ge 0$ の範囲にあるものの面積の2倍が答えである。以下,$y\ge 0$ で考え,$\mbox{C}_1$は$y=\tan{x}$ ($0\le x <\dfrac{\pi}{2}$) で考えてよく,この $\mbox{C}_1$ が $\mbox{C}_2$ と$y\ge 0$ の範囲で1点で接すると考えてよい。

$\mbox{C}_2$は$x\ge p$ の範囲にある曲線なので,$\mbox{C}_1$と共有点を持つためには $p<\dfrac{\pi}{2}$ であることが必要である。$p>0$の条件から $\tan{p}>0$, 一方で$\mbox{C}_2$は$x=p$のとき $y=0$ であるから,2曲線の$x=p$なる点で接点になることはない。（グラフ描けば自明）

$t$を$p< t<\dfrac{\pi}{2}$なる実数とし,接点の$x$座標が$t$であるとする。$\mbox{C}_1$と$\mbox{C}_2$の$x=t$における接線が一致する。2曲線の式から,接点の$y$座標($y\ge 0$に注意する)を比較して,$\tan{t}=2\sqrt{t-p}$ を得る。

次に,接線の傾きを考える。

$y=\tan{x}\Rightarrow y'=\dfrac{1}{\cos^{2}{x}}$

$x=\dfrac{y^{2}}{4}+p\Leftrightarrow y=2\sqrt{x-p}\Rightarrow y'=\dfrac{1}{\sqrt{x-p}}$

これらの導関数で$x=t$とすれば,両者は共通接線の傾きとなるから,$\dfrac{1}{\cos^{2}{t}}=\dfrac{1}{\sqrt{t-p}}$ である。以上から

${}$ $$ \left\{ \begin{array}{} \tan{t}=2\sqrt{t-p} \\ \dfrac{1}{\cos^{2}{t}}=\dfrac{1}{\sqrt{t-p}} \end{array} \right. $$

の連立方程式を得る。$\sqrt{t-p}=T$と置き,$\dfrac{1}{\cos^{2}{t}}=1+\tan^{2}{t}=1+4T^{2}$ を下式に代入すれば

$1+4T^{2}=\dfrac{1}{T} \Leftrightarrow 4T^{3}+T-1=(2T-1)(2T^{2}+T+1)=0$ という$T$についての方程式を得る。明らかに$T>0$より $2T^{2}+T+1>0$ なので,この方程式は $2T-1=0$ に等しく $T=\sqrt{t-p}=\dfrac{1}{2}$を得る。したがって $t=p+\dfrac{1}{4}$ となる。連立方程式の上式に代入すれば $\tan{t}=1$ となるから $t=\dfrac{\pi}{4}$ と分かる。

これらから,2曲線のグラフは次のようになる。

f:id:LimRim2326:20171228124945j:plain

(青:$\mbox{C}_{1}$, 赤:$\mbox{C}_{2}$)

囲まれた領域の$y\ge 0$ の部分の面積は

$\displaystyle\int_{0}^{t}\tan{x} dx - \displaystyle\int_{p}^{t}2\sqrt{x-p} dx$

$=\left[-\log{\cos{x}} \right]_{0}^{t}-\left[\dfrac{4}{3}(x-p)^{\frac{3}{2}} \right]_{p}^{t}$

$=-\log{\cos{t}}-\dfrac{4}{3}T^{3}=\dfrac{\log{2}}{2}-\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}$

$= \dfrac{\log{2}}{2}-\dfrac{1}{6}$

この2倍が求める面積であるから

答えは $\log{2}-\dfrac{1}{3}$

難易度もちょうどよく,とても京大風な問題だと思います。$p$とか$t$とかが綺麗に出てくるあたり,なかなかカッコいいです。京大で数Ⅲの微積分となるとあまり目立たないものですが,なかなか味のある問題が多く個人的に好きです。

Rim[N→∞]cos(2πen!/3)

数学。

どちゃ楽 Q.149 「y=tanxと放物線で囲まれた領域」

解答

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