自作Q.48 「京大プレ改題」

$p,q,r$は素数, $p\le q\le r$, $n\in\mathbb{N}$ $p^{n}+r^{n+1}=q^{n+2}$

（解答）

偶奇性より$p,q,r$の中に2がある。よって $p=2$

$2q^{n+1}\le q^{n+2} = 2^{n}+r^{n+1} < 2\times r^{n+1}$ より$q<r$ なので $r$ は奇素数。式の偶奇性を見て $q$ も奇素数になる。よって$p=2<q<r$

$n$を偶数とする。($n=2k$)

$2<q<r$ よりr≠3であるが, $q\ge 5$とすると $r^{n+1}\equiv q^{n+2}-2^{n}\equiv 1-1\equiv 0 $(mod 3) (∵$n,n+2$が偶数) から$r=3$となって矛盾

よって$q=3$

$r^{n+1}=(3^{k+1}-2^{k})(3^{k+1}+2^{k})$

右辺の2因数は互いに素だから $3^{k+1}-2^{k}=1$の場合しかない。しかし $3^{k+1}-2^{k}>2^{k+1}-2^{k}=2^{k}>1$より不適

$n$奇数のとき… $r^{n+1}+2^{n}=q^{n+2}$

$3<r$と$n$奇数より 左辺≡1+2≡0(mod3)だから $q=3$ $5^{n+1}\le r^{n+1}=3^{n+2}-2^{n}$ より $0<3^{n+2}-5^{n+1}$ これは$n\ge 3$では成り立たない $n=1$として$r^{2}=27-2=25$より $r=5$

以上より$(p,q,r,n)=(2,3,5,1)$