ツイート参照 $m=3$ の場合についてはまだ分かっていません。

参照（ツイッターに飛びます）https://twitter.com/Lim_Rim_/status/986611188229292033?s=19 コメント ネタ問に見えますが、(3)は中々難しいです。 偶然にも33,4という数値はかなり良い設定になっています。

Q.142 (1) 19で割って14余る平方数は存在するか？☆4 (2)\dfrac{2a^{2}-1}{b^{2}+2} が整数になる整数の組$(a,b)$は存在するか？☆9 ポイント 平方剰余の応用問題として出題しています。 必要ならばルジャンドル記号を駆使して考えましょう。 ルジャンドル記号…

Q.142 (3) ☆9 $\dfrac{3^{n}-1}{2^{n}-1}$ が整数になる$n\in\mathbb{N}$ を全て求めよ。 この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/936367712397271040 解答 $n\ge 2$ とする。このとき,$2^{n}-1$ は1より大きい奇数であって,奇素因数…

Q.207 ☆7 [自作] 4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗を47で割った余りを求めよ。 この問題の…

Q.125 ☆10 [BotBot07080546 様] 10進法で末尾が0でない正の整数 $n$ の末尾を首位へと移し,新しい整数 $f(n)$ を作る。たとえば,$f(334)=433, f(893)=389$ である。$f(5^{p})=2^{q}$ を満たす3以上の整数の組 $(p,q)$ を求めよ。 この問題のツイート: https:…

Q.121 ☆6 [学コン] 3つの素数$p,q,r$があり, $pq-1,qr-1$は平方数で, $rp-1$は素数の6乗である。$p,q,r$を求めよ。 この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/936163980589932544 解答 $s$ を $rp-1=s6$ なる素数とする。 $p,r$の少なく…

Q.97 ☆? [1977 ドイツTST] $4444^{4444}$ の各桁の数の和を$A$, $A$の各桁の数の和を$B$とする。$B$の各桁の数の和を求めよ。 ※各桁の和は10進法においてのものとする。 この問題はツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/935854355139280896 ポ…

Q.2 正の整数$n$の正の約数の総積を$P(n)$とする。 (1) $P(n)=24^{240}$となるような$n$は1つだけある。$n$を求めよ。[JMO予選 2012] ☆3 (2) 実は,$m\neq n$ ならば $P(m) \neq P(n)$ である。このことを示せ。[自作] ☆8 この問題のツイート: https://twitte…

Q.178 ☆6 [京大オープン] 初項1, 公差24の等差数列を$\{a_{n}\}$とする。数列$\{\sqrt{a_{n}}\}$の項には$5$以上の素数がすべて現れることを示せ。 この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/934699280786264067 ポイント 数列${a_{n}}$…

Q.7 ☆4 [東工大 2017] 次の条件( ⅰ ), ( ⅱ )をともに満たす正の整数$N$をすべて求めよ。 ( ⅰ )$N$の正の約数は12個 ( ⅱ )$N$の正の約数を小さい順から並べたとき,7番目の数は12 この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/93502386470624…

2018年度 京大特色 第4問(2)の解答です。 問題 自然数とは互いに素で,を満たすとする。項からなる数列 が次の3条件(イ),(ロ),(ハ)を満たすとき,性質を持つということにする。 (イ) はすべて整数。 (ロ) (ハ) を で定めたとき,以下のすべての自然数に対して …