ポイント

計算するにはさすがにデカすぎる。各桁の数の和を3回も求めてるのだから,意外と小さくなるのではないかと予想します。大雑把で良いので値を評価してみましょう。

解答

$4444^{4444}<10000^{4444}=10^{17776}$ より $4444^{4444}$ の桁の個数は17776個以下である。桁の個数が17776個以下でかつ,10進法における各桁の和が最も大きくなるのは$999\cdots 999$ (9は17776個)なので

$A\le 9\times 17776=159984$

同様にして $B\le 45$ (A=99999 となる場合で上から評価した)

$B$の各桁の数を$C$として,同様に$B=39$の場合で上から評価できるので $C\le 12$

また,明らかに$C$は自然数なので $1\le C\le 12$

ここで,一般に$n$を9で割った余りと $n$の各桁の和を9で割った余りは等しいので,以下の合同式は法9として

$4444^{4444}\equiv A\equiv B\equiv C$

である。$4444^{4444}\equiv (-2)^{4444}= (-2)\times (-8)^{1481}\equiv (-2)\times 1^{1481}\equiv 7$

以上より,$C$は1以上12以下でかつ,9で割った余りが7であるような数だから

$C=7$

最後の決め手はmod9でした。数学オリンピック系の問題ではこういった各桁の和の問題が多く,その際にこういった値の評価とmod9がかなり重要だったりします。$A$の時点でメチャクチャ小さくなってることが分かりますね。