どちゃ楽 Q.207 「4の4の4の4の4の4の……」

Q.207 ☆7 [自作]

4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4の4乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗を47で割った余りを求めよ。

この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/937100129273757696

解答

数式では $4^{\left(4^{\left(4^{\left(4^{\left(\cdots\right)}\right)}\right)}\right)}$ という意味になる。「$\cdots$」の部分は偶数だから この部分を$2a$とおく。($a\in\mathbb{N}$)

このとき,$4^{2a}\equiv (-1)^{2a}\equiv 1 (\mbox{mod} 5)$ であるから,$4^{2a}=5b+1$ ($b\in\mathbb{N}$) とおく。

フェルマーの小定理より $4^{5b+1}=(2^{b})^{10}\cdot 2^{2}\equiv 1\cdot 4=4 (\mbox{mod} 11)$ だから $4^{5b+1}=11c+4$ とおく。($c\in\mathbb{N}$)

同様に $4^{11c+4}=(2^{c})^{22}\cdot 2^{8}\equiv 1\cdot 3=3(\mbox{mod} 23)$ だから $4^{11c+4}= 23d+3$ とおく。 ($d\in\mathbb{N}$)

同様に $4^{23d+3}=(2^{d})^{46}\cdot 2^{6}=1\cdot 64\equiv 17 (\mbox{mod} 47) $

以上より,

$4^{\left(4^{\left(4^{\left(4^{2a}\right)}\right)}\right)} =4^{\left(4^{\left(4^{5d+1}\right)}\right)}=4^{\left(4^{11c+4}\right)}=4^{23d+3} \equiv 17 (\mbox{mod} 47)$

であるから, 47で割った余りは$17$

コメント

糞問に見せかけた自信作です！JMO予選とかに出しても良さそうなレベルじゃないでしょうか。なお,「4の4の……乗乗」という日本語式の解釈は解答のような1通りに定まっています。