Q.142 (1) 19で割って14余る平方数は存在するか？☆4 (2)\dfrac{2a^{2}-1}{b^{2}+2} が整数になる整数の組$(a,b)$は存在するか？☆9 ポイント 平方剰余の応用問題として出題しています。 必要ならばルジャンドル記号を駆使して考えましょう。 ルジャンドル記号…

Q.62 ☆7 [2014 AIME I] 次の三次方程式を解け。 $(\sqrt{2014})x^{3} − 4029x^{2}+ 2 = 0$ 解答 $x=0$は解でないので,$x\neq 0$ とする。 $y=\sqrt{2014}$ とすると,与えられた方程式は $yx^{3} − (2y^{2}+1)x^{2}+ 2 = 0$ $\Leftrightarrow 2x^{2}y^{2}-x^{…

Q.142 (3) ☆9 $\dfrac{3^{n}-1}{2^{n}-1}$ が整数になる$n\in\mathbb{N}$ を全て求めよ。 この問題のツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/936367712397271040 解答 $n\ge 2$ とする。このとき,$2^{n}-1$ は1より大きい奇数であって,奇素因数…

Q.82 ☆12 [2015春合宿] 関数$f$は集合$S=\{1,2,3,\cdot n\}$の部分集合に対して定義され, $1$以上$2^{n}$以下の整数値を取る。このような$f$であって,以下の3つの条件を満たすような$f$はいくつ存在するか。ただし$\varnothing$は空集合を表す。 ( i ) 任意…

Q.97 ☆? [1977 ドイツTST] $4444^{4444}$ の各桁の数の和を$A$, $A$の各桁の数の和を$B$とする。$B$の各桁の数の和を求めよ。 ※各桁の和は10進法においてのものとする。 この問題はツイート: https://twitter.com/so_easy_math/status/935854355139280896 ポ…

Q.2 正の整数$n$の正の約数の総積を$P(n)$とする。 (1) $P(n)=24^{240}$となるような$n$は1つだけある。$n$を求めよ。[JMO予選 2012] ☆3 (2) 実は,$m\neq n$ ならば $P(m) \neq P(n)$ である。このことを示せ。[自作] ☆8 この問題のツイート: https://twitte…