解答

$s$ を $rp-1=s⁶$ なる素数とする。

$p,r$の少なくとも一方が2であるとき…

$s$は奇数である。対称性より$r=2$としてよく,

$2p=s^{6}+1=(s^{2}+1)((s^{2}-1)^{2} +s^{2}) $

を得る。$(s^{2}-1)^{2} +s^{2}>0^{2}+3^{2}>1$ であるから $s^{2}+1<2p$となる。更に,$2p>2^{6}+1$より$p$は明らかに奇素数で,$s^{2}+1$は偶数かつ$2p$の約数であるから,$s^{2}+1=2$ となるが,$s>2$より不適。$p=2$とした場合も同様に不適。

$p,r$が奇素数のとき…

$s$は偶数であるから $s=2$ である。

そのとき,$rp=65$ となり,$(p,r)=(5,13), (13,5)$ である。いずれの場合も $5q-1=m^{2}$, $13q-1=n^{2}$ を満たす正の整数$m,n$が存在するような素数$q$を求めることになり,

$(13q-1)-(5q-1)=8q=(n-m)(n+m)$

となる。$q$ が奇素数のとき,

$n-m$と$n+m$はともに偶数であり,$0< n-m < n+m$, $4<2q$ から

$(n-m, n+m)=(4,2q), (2,4q)$ の場合が考えられる。

前者では$m=q-2$となり,$5q-1=(q-2)^{2}$ となるが,これを満たす$q$は存在しない。

後者では$m=2q-1$となり,$5q-1=(2q-1)^{2}$ となるが,これを満たす$q>2$は存在しない。

$q=2$とした場合, $m=3, n=5$ となるから適する。

以上より,$(p,q,r)=(5,2,13), (13,2,5)$

$x^{6}+1$を見たときに「指数が偶数だから因数分解できないなあ…」と思っちゃうかもしれませんね。

Rim[N→∞]cos(2πen!/3)

数学。

どちゃ楽 Q.121 「rp-1は素数の6乗」

解答

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