どちゃ楽 Q.62 「√2014x^3-4029x^2+2=0」

Q.62 ☆7　[2014 AIME I]

次の三次方程式を解け。

$(\sqrt{2014})x^{3} − 4029x^{2}+ 2 = 0$

解答

$x=0$は解でないので,$x\neq 0$ とする。

$y=\sqrt{2014}$ とすると,与えられた方程式は

$yx^{3} − (2y^{2}+1)x^{2}+ 2 = 0$

$\Leftrightarrow 2x^{2}y^{2}-x^{3}y+x^{2}-2=0$

というように表され,$x\neq 0$よりこれを$y$についての二次方程式と見ることができるので,解の公式より

$y=\sqrt{2014}=\dfrac{x^{3}\pm\sqrt{x^{6}-8x^{4}+16x^{2}}}{4x^{2}}=\dfrac{x^{3}\pm (x^{3}-4x)}{4x^{2}}= \dfrac{1}{x}, \dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{x}$

となる。

$\sqrt{2014}=\dfrac{1}{x}$ より $x=\dfrac{1}{\sqrt{2014}}$

$\sqrt{2014}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{x}$ $\Leftrightarrow x^{2}-2\sqrt{2014}x -2=0$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{2014}\pm\sqrt{2016}$

以上より $x=\dfrac{1}{\sqrt{2014}}, \sqrt{2014}\pm\sqrt{2016}$

コメント

まあ4029は見るからに2014と絡んでいて怪しいですもんね。もしかしたら勘で$\dfrac{1}{\sqrt{2014}}$ ぐらいは見つかっちゃうかもしれません。出典の AIME はアメリカの数オリ予選みたいなものです。