解答

$n\ge 2$ とする。このとき,$2^{n}-1$ は1より大きい奇数であって,奇素因数が存在する。(2は素因数に含まれない) $2^{n}-1$のある素因数$p$は$3^{n}-1$ も割り切る。この$p$に対して,次の補題が成立することを示す。

補題 $p\equiv \pm 1(\mbox{mod} 4)$ ならば $p\equiv \pm 1(\mbox{mod} 3)$ である（複号同順）

証明. $3^{n}-1$は3の倍数でないから,$2^{n}-1$も3の倍数でない。よって$p\neq 3$ でかつ, $n$ は奇数であるから,$n+1$ は偶数である。

$3^{n}-1\equiv 0 (\mbox{mod} p)$ より $3^{n+1}\equiv 3 (\mbox{mod} p)$ であるから,$\mbox{mod} p$ において 3 は平方剰余である。すなわち,ルジャンドルの記号を用いて $\left(\dfrac{3}{p}\right)=1$ である。

$p$は必ず奇数であるから,$p\equiv \pm 1(\mbox{mod} 4)$ である。従って, $\left(\dfrac{3}{p}\right)=1$ と平方剰余相互法則から

$\left(\dfrac{3}{p}\right)\left(\dfrac{p}{3}\right)=\left(\dfrac{p}{3}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{3-1}{2}} = \pm 1$ (複号同順)

が成り立ち,$p\neq 3$ より,$+1$ならば $p\equiv 1 (\mbox{mod} 3)$, $-1$ならば $p\equiv -1 (\mbox{mod} 3)$ であるから示された。 (証明終)

$n\ge 2$ のとき $2^{n}-1\equiv -1 (\mbox{mod} 4)$ である。$2^{n}-1$を素因数分解したときの$p$の指数を $i_{p}$ として,

$S=\displaystyle\sum_{p\equiv -1 (mod 4)} i_{p} $

$T=\displaystyle\sum_{p\equiv 1 (mod 4)} i_{p} $

とおく。このとき,

$2^{n}-1\equiv 1^{T}(-1)^{S}\equiv(-1)^{S} \equiv -1 (\mbox{mod} 4)$ より $S$は奇数である。

ここで,補題より

$\displaystyle\sum_{p\equiv -1 (mod 3)} i_{p}= S $

$\displaystyle\sum_{p\equiv 1 (mod 3)} i_{p} = T$

が言えるから,$2^{n}-1\equiv 1^{T}(-1)^{S} (\mbox{mod} 3)$

$S$ は奇数であるから $2^{n}-1\equiv -1 (\mbox{mod} 3)$ となり $2^{n}$ が3の倍数であることになり不適。よって条件を満たし $n\ge 2$ なる整数$n$は存在しない。

$n=1$のときは $\dfrac{3-1}{2-1}=2$ で条件を満たす。

以上より,$n=1$ のみ。

実験すれば 2以降の可能性はなさそうとは思えますが,平方剰余の使い方が結構難しい。とりあえず自分が知っている理論で,上手く行きそうなものを試してあげるしかありませんね。

Rim[N→∞]cos(2πen!/3)

数学。

どちゃ楽 Q.142 (3) 「(3^n-1)/(2^n-1)が整数」

解答

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