どちゃ楽 Q.195 「n進法で何桁か。」

Q.195 ☆4◎ (自作問題)

$n$を2以上の整数とする。$n+1$進法で$n$桁の数 $1000\cdots 0000$ は, $n$進法で何桁か。

($n=2$ で実験すると2桁, $n=3$では3桁であることから,$n$桁になるのではと予想ができる。)

$n+1$進法で$n$桁の数 $1000\cdots 0000$は $(n+1)^{n-1}$ と表せる。$n\ge 2$なるすべての整数$n$でこれが$n$進法で$n$桁であること,すなわち

$n^{n-1}\le (n+1)^{n-1}\lt n^{n}$

が成立することを証明する。

左側の不等式 $n^{n-1}\le (n+1)^{n-1}$については $n\ge 2$より明らかである。

右側の不等式 $(n+1)^{n-1}\lt n^{n}$は,両辺に $\frac{n+1}{n^{n}}$ を掛けることで

$ \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} \lt n+1$

と同値である。これを示す。

(証明)
二項定理より

$\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} =\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{{}_{n} C_{k}}{n^{k}}$

となる。ここで,$k=0,1,2,\cdots, n$ に対して

$1\times 2\times\cdots\times(n-k)\times \overbrace{n\times n\times\cdots\times n}^{k}\ge 1\times 2\times\cdots\times (n-1) \times n$

すなわち $(n-k)!n^{k}\ge n!$ であるから,

$\frac{{}_{n} C_{k}}{n^{k}} = \frac{n!}{n^{k}(n-k)!k!}\le \frac{1}{k!}$

が言える。さらに,$k=2,3,\cdots, n$ に対して

$1\times 2\times \cdots\times k \ge 1\times \overbrace{2\times 2\times\cdots\times 2}^{k -1}$

すなわち $k!\ge 2^{k -1}$ が言えるから,

$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\le \frac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\displaystyle\sum_{k=2}^n\frac{1}{2^{k -1}}= 3-\dfrac{1}{2^{n-1}}$

$n\ge 2$より

$\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\le 3-\dfrac{1}{2^{n-1}}\lt 3\le n+1$ となるから示された。(証明終)

以上より,$n^{n-1}\le (n+1)^{n-1}\lt n^{n}$が成立するから,答えは $n$桁である。

整数？と思いきやほぼ不等式の問題。評価の仕方には少々工夫がいるところですが,$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$は極限値が$e$になるやつですから,$e<3$の評価の仕方を知っていれば解ける問題ですし,不等式評価の練習にもなると思います。ちょっと自信作。

Rim[N→∞]cos(2πen!/3)